Вопрос истинной стоимости биткоина был одним из первых уже на заре его появления. Однако в отличие от многих других, он до сих пор остается в метафизической плоскости — заставляя ломать копья в яростных спорах между сторонниками и противниками созданного с легкой руки Сатоши Накамото «цифрового золота».

Попробуем подключить к этим спорам математику и рассмотрим ценность первой криптовалюты, исходя из принципов развития сложных систем. Тем более, что попытка расчета стоимости цифровых валют исходя из основополагающего вклада «экосистемы» участников является к настоящему моменту общепризнанным подходом.

За основу я возьму замечательную статью «Bitcoin Spreads Like a Virus» от Timothy F. Peterson (оригинал) и дополню ее рядом собственных размышлений. 

К настоящему моменту известно, что рост полезности сложных систем описывается законом Меткалфа, постулирующем пропорциональность этой величины половине квадрата численности пользователей ≈n2/2. При этом после достижения определенного числа узлов (или пользователей) полезность в виде денежной отдачи начинает расти быстрее затрат на содержание сети. 

Полезность сети в виде денежной отдачи от ее внедрения растет быстрее чем затраты на ее расширение.
Полезность сети в виде денежной отдачи от ее внедрения растет быстрее чем затраты на ее расширение.

Вместе с тем, полезность сети не может расти бесконечно и рано или поздно наступает насыщение. Рост сменяется стагнацией — правило характерное для всех живых систем. Для описания подобной динамики используется так называемая функция Гомпертца, тип математической модели для временных рядов, где рост медленнее в начале и в конце периода.

Функция Гомпертца предполагает ускорение роста полезности по мере развития системы с последующим замедлением после достижения определенного предела.
Функция Гомпертца предполагает ускорение роста полезности по мере развития системы с последующим замедлением после достижения определенного предела.

Таким образом, например, может быть описан рост Википедии. Факт, породивший немало драм и пророчеств о скорой гибели проекта, которые, впрочем, так и остались на уровне эмоциональных предположений. Впрочем, вернемся к биткоину. 

Хорошо известно, что зависимость между логарифмом цены первой криптовалюты и временем с момента старта проекта может быть описана параболой ln(P) = a(y-k)^2 + h: 

Сколько стоит биткоин — или по ту сторону истинной ценности первой криптовалюты
Зависимость между логарифмом цены биткоина и временем с момента старта проекта хорошо описывается параболой ln(P) = a(y-k)^2 + h.

При этом ценовые всплески, вызванные ажиотажами в среде первых трейдеров, всегда возвращаются к долгосрочному «равновесному» значению стоимости. Это можно хорошо изобразить графически:

Во время рыночных бумов цена биткоина может значительно отклоняться от своей «равновесной» стоимости.
Во время рыночных бумов цена биткоина может значительно отклоняться от своей «равновесной» стоимости.

Если убрать из расчетов указанные ценовые эксцессы, можно легко показать, что логарифм цены биткоина линейно связан с квадратным корнем из соответствующего временного ряда ln(p) = a*sqrt(t)+b:

Логарифм цены первой криптовалюты линейно связан с квадратным корнем из соответствующего временного ряда.
Логарифм цены первой криптовалюты линейно связан с квадратным корнем из соответствующего временного ряда.

Что существенно более важно, подобная временная зависимость присутствует и для логарифма из числа активных адресов в сети. Отклонения наблюдались лишь в начале развития проекта, когда происходил взрывообразный рост количества новых участников:

Логарифм из числа активных адресов сети биткоина линейно связан с логарифмом квадратного корня из соответствующего временного ряда.
Логарифм из числа активных адресов сети биткоина линейно связан с логарифмом квадратного корня из соответствующего временного ряда.

Аналогичным образом растет число пользователей и у крупных IT–компаний, например в соцсети Facebook:

Логарифм из числа активных пользователей соцсети Facebook линейно связан с логарифмом квадратного корня из соответствующего временного ряда.
Логарифм из числа активных пользователей соцсети Facebook линейно связан с логарифмом квадратного корня из соответствующего временного ряда.

Оставляя за скобками ряд математических выкладок, сформулируем главный вывод из полученных результатов. Полезность сети биткоина, выраженная через его биржевую цену, действительно связана с числом пользователей (де-факто с числом активных адресов в сети) через функцию Гомпертца. Во всяком случае имеющиеся у нас исторические данные прямо свидетельствуют об этом:

Полезность сети биткоина, выраженная через его биржевую цену, действительно связана с числом пользователей блокчейна через функцию Гомпертца.

Каким образом указанная взаимосвязь будет проявлять себя на практике? Здесь можно выделить один основополагающий фактор — последовательное снижение волатильности. Достаточно подробно этот вопрос разобран в работе «Bitcoin’s increasing price resistance uphill, short- and long-term» за авторством Harold Christopher Burger. Мы действительно наблюдаем постепенное снижение ценовых колебаний первой криптовалюты по мере развития рынка и увеличения ее вовлеченности в мир традиционных финансовых активов:

Распределение вероятности 60–дневных ценовых колебаний биткоина в зависимости от их величины (логарифмическая шкала). Синим цветом выделен временной период до первого халвинга криптовалюты, зеленым — период между первым и вторым халвингом, красным — период после второго халвинга.
Распределение вероятности 60–дневных ценовых колебаний биткоина в зависимости от их величины (логарифмическая шкала). Синим цветом выделен временной период до первого халвинга криптовалюты, зеленым — период между первым и вторым халвингом, красным — период после второго халвинга.

Из приведенной гистограммы видно, что по мере развития проекта разброс 60–дневных ценовых колебаний биткоина постоянно сжимается к центру распределения. Если пойти дальше и провести экстраполяцию этих данных, можно построить диаграмму усредненного ежегодного возврата (роста цены) первой криптовалюты в ближайшем будущем: 

Прогноз усредненного ежегодного возврата биткоина в ближайшие тридцать лет, значения приведены в процентах роста цены.
Прогноз усредненного ежегодного возврата биткоина в ближайшие тридцать лет, значения указаны в процентах.

Хорошо видно, что в ближайшие двадцать лет рост полезности сети будет активно замедляться, достигнув плато к концу 2040–х годов. Это приведет к долгожданной стабилизации цены первой криптовалюты, и, возможно, к превращению ее в общепринятую меру стоимости (аналогично золоту). Последнее особенно актуально в связи с продолжающимся парадом девальваций большинства национальных валют из-за проводимых центробанками бесконечных стимулирующих программ «количественного смягчения».

Теперь рассмотрим прогностическую ценность полученной модели. Автор статьи приводит шутливый сценарий с полным повторением ценовой динамики, наблюдавшейся после третьего халвинга биткоина. Дополнительно учитывается коррекция на соответствующее снижение волатильности:  

Сценарий полного повторения ценовой динамики, наблюдавшейся после третьего халвинга биткоина. Дополнительно проведена коррекция на соответствующее изменение волатильности.
Сценарий полного повторения ценовой динамики, наблюдавшейся после третьего халвинга биткоина. Дополнительно проведена коррекция на соответствующее изменение волатильности.

Более серьезный прогноз приведен в статье «Bitcoin’s natural long-term power-law corridor of growth» от этого же автора. В нем используются различные варианты линейной регрессии для графика с двойной логарифмической шкалой: 

Прогноз ценовой динамики биткоина с использованием различных вариантов линейной регрессии на графике с двойной логарифмической шкалой.
Прогноз ценовой динамики биткоина с использованием различных вариантов линейной регрессии на графике с двойной логарифмической шкалой.

Из диаграммы видно, что нас ожидает постепенное снижение размаха ценовых колебаний первой криптовалюты. Темпы дальнейшего роста ее стоимости также замедляются. При этом ценовой барьер в $150 тыс. может быть покорен уже к концу следующего года. Также, 2020 и 2021 годы могут оказаться последней возможностью купить биткоин ниже $10 тыс. Покорение же заветной планки в один миллион долларов откладывается до 2028 года.

Выводы

Рост полезности сети биткоина (равно как и связанной с ней капитализации) может быть описан кривой Гомпертца. При этом за взрывообразным ростом на первых этапах развития неизбежно следует насыщение и стагнация, сопровождающиеся значительным снижением волатильности. Именно к началу этого периода своего развития биткоин может стать общепризнанной мерой стоимости, заслуженно приняв титул «цифрового золота».

Биткоин — долгосрочный проект, его развитие пройдет через поколения. Даже через 40 лет с момента старта первых торгов ожидаемый среднегодовой возврат составит порядка 15%. Это очень большая величина по меркам современных финансовых инструментов.

Запущенная центробанками гонка девальваций своих валют за счет различных стимулирующих программ (прежде всего «количественного смягчения») способна значительно изменить финансовый ландшафт уже в ближайшем будущем. В этих условиях вопрос о том, сможем ли мы к 2050 году говорить о долларовой стоимости первой криптовалюты, остается открытым. 

Таким образом, долгосрочные ценовые прогнозы также имеют мало смысла. Неизменным остается одно — рост полезности сети биткоина продолжится и это неизбежно будет повышать его ценность как среди сторонников, так и всего человечества.